sábado, 6 de abril de 2013

DEMOSTRAÇÃO DA FORMULA DE BHASKARA

As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
Eis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.

  • a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
  • b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
  • c é o coeficiente do termo independente.
    Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
    a = - 34
    b = 28
    c = - 32
    Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
    Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
    Subtraindo 32 de ambos os lados:
    10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
    10x - 3x2 - 32 = 15x2.
    Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
    10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
    10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
    Somando-se os termos em comum:
    10x - 32 - 18x2 = 0
    Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
    - 18x2 + 10x - 32 = 0
    Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
    a = -18
    b= +10
    c = -32

    Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau

    reprodução

    Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
    ax2 + bx + c = 0
    com a diferente de zero;
    Multiplicando ambos os membros por 4a:
    4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
    Somando b2 em ambos os membros:
    4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
    Reagrupando:
    4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
    O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
    Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
    : (2ax + b) =
    Isolando a incógnita x
    2ax = -b
    Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.